對于非數學家來說，讓字母 “i” 代表一個并不完全存在并且是 “虛數” 的數字可能很難理解。

然而，如果你對這種思維方式敞開心扉，一個全新的世界就會成為可能。

我是研究分析的數學家：一個涉及復數.與更熟悉的實數不同 – 正整數和負整數、分數、平方根、立方根甚至pi 等數字– 復數有一個虛數。

這意味著它們由實數和虛數 i 組成：負 1 的平方根。

請記住，數字的平方根表示其平方為原始數字的數字。正數乘以自身就是正數。負數乘以自身就是正數。虛數 i 描述了一個數，該數在乘以自身時為負數。

與非數學家討論虛數經常會導致反對意見，例如，“但那些數字實際上并不存在，對吧？

如果您是這些懷疑論者中的一員，那么您并不孤單。即使是數學巨人也發現復數難以接受。

首先，稱 -√1 為“虛構的”在幫助人們理解它不是幻想方面沒有任何好處。數學家吉羅拉莫·卡爾達諾，在他 1545 年出版的關于復數的書中，”麥格納 Ars 酒店“，認為他們”微妙無用”。

甚至萊昂哈德·歐拉最偉大的數學家之一，據說是計算的√（-2） √（-3） 為 √6。正確答案是 -√6。

在高中時，你可能遇到過二次公式，它給出了未知變量平方的方程.

也許你的高中老師不想處理當 （b2 - 4ac） （二次公式中平方根下的表達式） 為負時會發生什么的問題。

他們可能把這件事當作大學里要處理的事情而掩蓋起來。

但是，如果您愿意相信負數的平方根的存在，您將獲得一組全新的二次方程的解。事實上，一個令人驚奇且有用的數學世界映入眼簾：世界復雜分析.

復數簡化了數學的其他領域

你在復數中的信仰飛躍會得到什么？

首先，三角學變得容易得多。您無需記住幾個復雜的 trig 公式，而只需要一個方程來統治它們：Euler 的 1740 公式.

憑借不錯的代數技能，您可以縱 Euler 公式，以查看大部分標準三角公式用于測量三角形的長度或角度變得對齊。

微積分也變得更容易。作為數學家羅杰·科特斯,勒內·笛卡爾——誰創造了“虛數”這個詞——其他人已經觀察到，復數使看似不可能的積分變得容易解決和測量復雜曲線下的面積。

復數在理解您可以使用尺子和指南針構建的所有可能的幾何圖形方面也起著作用。正如數學家所指出的讓-羅伯特·阿甘德和卡爾·弗里德里希·高斯中，您可以使用復數來作幾何圖形，例如五邊形和八邊形。

現實世界中的復雜分析

復雜分析在現實世界中有許多應用。

數學家拉斐爾·邦貝利 （Rafael Bombelli） 的對復數執行加、減、乘、除等代數運算的想法使得在微積分中使用它們成為可能。

從這里開始，科學家在物理學中用于研究信號或數據傳輸的大部分內容變得更加易于管理和理解。

例如，復雜分析用于縱小波或數據中的小振蕩。這些對于去除衛星亂碼信號中的噪聲以及壓縮圖像以實現更高效的數據存儲至關重要。

復雜分析使工程師能夠將復雜問題轉化為更簡單的問題。因此，它也是許多應用物理學主題的重要工具，例如研究復雜結構的電學和流體特性。

一旦他們對復數更加熟悉，著名的數學家卡爾·魏爾斯特拉斯,奧古斯丁-路易·柯西和伯恩哈德·黎曼而其他人則能夠開發復雜的分析，構建一個有用的工具，不僅簡化了數學并推動了科學的發展，而且使它們更易于理解。

威廉·羅斯， 數學教授，里士滿大學

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